Question

5．在△ABC，邊a，b，c的對(duì)角分別為A，B，C，tanC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$．
（1）求角C的大��；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)整理已知等式可得sin（C-A）=sin（B-C），利用三角形內(nèi)角和定理即可得解C的值．
（2）設(shè)A=$\frac{π}{3}$+α，B=$\frac{π}{3}$-α，可得-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$，又由正弦定理a=2RsinA=2sinA，b=2RsinB=2sinB，從而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得a²+b²=4+2cos2α，求得2α的范圍，進(jìn)而可求范圍-$\frac{1}{2}$＜cos2α≤1，由此得解a²+b²的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因?yàn)閠anC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
即$\frac{sinC}{cosC}=\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，…（2分）
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB．
得sin（C-A）=sin（B-C）．…（4分）
所以C-A=B-C，或C-A=π-（B-C）（舍）．
即2C=A+B，得C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由C=$\frac{π}{3}$，設(shè)A=$\frac{π}{3}$+α，B=$\frac{π}{3}$-α，0＜A，B＜$\frac{2π}{3}$，知-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$．
又由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$，可得：a=2RsinA=2sinA，b=2RsinB=2sinB，…（8分）
故a²+b²=4（sin²A+2sin²B）=4（$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2B}{2}$）=$4-2[cos（\frac{2π}{3}+2α）+cos（\frac{2π}{3}-2α）]$
=4+2cos2α．…（10分）
由-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$，可得：-$\frac{2π}{3}$＜2α＜$\frac{2π}{3}$，-$\frac{1}{2}$＜cos2α≤1，
故3＜a²+b²≤6．
所以a²+b²的取值范圍是（3，6]…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．