Question

15．曲線C：f（x）=x³-2ax+4a，若過(guò)曲線C外一點(diǎn)A（2，0）引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為（　�。�

• A． $\frac{27}{4}$
• B． -$\frac{27}{4}$
• C． $\frac{27}{8}$
• D． -$\frac{27}{8}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，代入（2，0），可得切點(diǎn)和切線的斜率，再由傾斜角互補(bǔ)可得斜率之和為0，解得a的值．

解答 解：f（x）=x³-2ax+4a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2a，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），即有切線的斜率為k=3m²-2a，
可得切線的方程為y-（m³-2am+4a）=（3m²-2a）（x-m），
代入（2，0），可得-m³+2am-4a=（3m²-2a）（2-m），
解得m=0或3，
則切線的斜率為-2a，27-2a，
由它們的傾斜角互補(bǔ)，可得斜率之和為0，
可得27-4a=0，解得a=$\frac{27}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用直線方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．