Question

關(guān)于二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁸有下列命題：
①該二項(xiàng)展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是2008；
②該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為C₂₀₀₈⁶x²⁰⁰²；
③該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第1004項(xiàng)；
④當(dāng)x=2008時(shí)，（x-1）²⁰⁰⁸除以2008的余數(shù)是1．
其中所有正確命題的序號是

④

．

Answer 1

分析：先求出二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁸展開式的通項(xiàng)公式，然后令r=2007求出二項(xiàng)展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)可判定①的真假，求出二項(xiàng)展開式的第六項(xiàng)可判定②的真假，求出二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)可判定③的真假，根據(jù)當(dāng)x=2008時(shí)，（x-1）²⁰⁰⁸展開后前面項(xiàng)都能整除2008，只有最后一項(xiàng)1剩余，從而得到余數(shù)，可判定④的真假．

解答：解：二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁸展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 2008

x2008-r(-1)r
令r=2007求出二項(xiàng)展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是-2008，即得①不正確；
二項(xiàng)展開式的第六項(xiàng)為-C₂₀₀₈⁵x²⁰⁰³，即得②不正確；
二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1005項(xiàng)C₂₀₀₈¹⁰⁰⁴•x¹⁰⁰⁴，即③不正確；
當(dāng)x=2008時(shí)，（x-1）²⁰⁰⁸除以2 008的余數(shù)是最后一項(xiàng)1，即④正確．
故答案為：④．

點(diǎn)評：本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，以及特定項(xiàng)以及系數(shù)最大項(xiàng)，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于中檔題．