Question

已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=-

1

3

，

π

2

＜α＜π．
（1）求

cos(α+4π)cos2(α+π)sin2(α+3π)

sin(α-4π)sin(5π+α)cos2(-α-π)

的值；
（2）求cos(2α-

π

4

)的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,運用誘導公式化簡求值

專題：三角函數的求值

分析：由已知逆用兩角和的余弦公式得到cosα的值，進一步求出sinα，cos2α，sin2α的值，利用誘導公式化簡求值．

解答： 解：由已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=-

1

3

，

π

2

＜α＜π．
得到cosα=-

1

3

，sinα=

2 2

3

；
∴（1）

cos(α+4π)cos2(α+π)sin2(α+3π)

sin(α-4π)sin(5π+α)cos2(-α-π)

=

cosαcos2αsin2α

-sinαsinαcos2α

=-cosα=-

1

3

；
（2）由（1）得到sin2α=2sinαcosα=2×

2 2

3

×（-

1

3

）=-

4 2

9

，cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，
∴cos(2α-

π

4

)=cos2αcos

π

4

+sin2αsin

π

4

=-

7

9

×

2

2

-

4 2

9

×

2

2

=

-8-7 2

18

．

點評：本題考查了兩角和與差的三角函數公式的逆用以及利用誘導公式求三角函數表達式的值，符號是本題的易錯之處．