Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＞0時，討論f（x）在(

1

2

，  2)的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，等價于

ax-1

ax2

≥0即ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，分離參數(shù)后化為函數(shù)的最值即可求解；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）在(0，  

1

a

]上是減函數(shù)，在[

1

a

，+∞)上是增函數(shù)，按照a≥2，0＜a≤

1

2

，

1

2

＜a＜2三種情況進行討論即可得到結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)，
依題意：

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即：ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
也即：a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥(

1

x

)max=1，即a≥1；
（Ⅱ）∵f′(x)=

ax-1

ax2

，
∴f（x）在定義域（0，+∞）上滿足：f（x）在(0，  

1

a

]上是減函數(shù)，在[

1

a

，+∞)上是增函數(shù)，
1°當a≥2時，（

1

2

，2）⊆[

1

a

，+∞)，∴f（x）在(

1

2

，  2)上是增函數(shù)；
2°當0＜a≤

1

2

時，（

1

2

，2）⊆(0，  

1

a

]，∴f（x）在(

1

2

，  2)上是減函數(shù)；
3°當

1

2

＜a＜2時，

1

a

∈(

1

2

，  2)，
∴f（x）在(

1

2

， 

1

a

]上是減函數(shù)，f（x）在[

1

a

，  2)上是增函數(shù)．

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，正確理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵所在．