Question

【題目】如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面平面．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）存在點(diǎn)P，使得平面，且．

【解析】

試題（ I ） 根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，需證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．由題意易得四邊形是菱形，所以，從而，即，進(jìn)而證得平面．（Ⅱ） 由（ I ）可知，、、兩兩互相垂直，故可以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，只要能找到一點(diǎn)P使得PM平行平面內(nèi)的一條直線即可．由于，故可取線段中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連結(jié)．則，且．由此即可得四邊形是平行四邊形，從而問題得證．

試題解析：（ I ） 由題意可知四邊形是平行四邊形，所以，故．

又因?yàn)?/span>，M為AE的中點(diǎn)所以，

即

又因?yàn)?/span>，

所以四邊形是平行四邊形．

所以

故．

因?yàn)槠矫?/span>平面， 平面平面，平面

所以平面．

因?yàn)?/span>平面， 所以．

因?yàn)?/span>，、平面，

所以平面．

（Ⅱ） 以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

平面的法向量為．

設(shè)平面的法向量為， 因?yàn)?/span>，，

， 令得，．

所以， 因?yàn)槎�面�?/span>為銳角，

所以二面角的余弦值為．

（Ⅲ） 存在點(diǎn)P，使得平面．

法一: 取線段中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連結(jié)．

則，且．

又因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形，所以．

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則．

所以四邊形是平行四邊形，則．

又因?yàn)?/span>平面，所以平面．

所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，．

法二：設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，

設(shè)，（），，因?yàn)?/span>．

所以．

因?yàn)?/span>平面， 所以，

所以， 解得， 又因?yàn)?/span>平面，

所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，．