Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=4a_n-3a_n-1（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n，求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求a_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)任意的n∈N^*，n≥2，由a_n+1=4a_n-3a_n-1，變形a_n+1-a_n=3a_n-3a_n-1=3（a_n-a_n-1），令b_n=a_n+1-a_n，代入即可證明．
（II）由（Ⅰ）可知${b_n}={b_1}×{q^{n-1}}={3^{n-1}}$，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}-{a_{n-1}}={b_{n-1}}={3^{n-2}}$，利用“累加求和”方法即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：對(duì)任意的n∈N^*，n≥2，∵a_n+1=4a_n-3a_n-1，
∴a_n+1-a_n=3a_n-3a_n-1=3（a_n-a_n-1），
令b_n=a_n+1-a_n，顯然b_n=a_n+1-a_n≠0，則$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}=3$，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁=a₂-a₁=1，公比q為3的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知${b_n}={b_1}×{q^{n-1}}={3^{n-1}}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a₂-a₁=b₁=1，${a_3}-{a_2}={b_2}={3^1}$，${a_3}-{a_2}={b_2}={3^2}$，…${a_n}-{a_{n-1}}={b_{n-1}}={3^{n-2}}$，
累加得${a_n}-{a_1}=1+{3^1}+{3^2}+…+{3^{n-2}}=\frac{{{3^{n-1}}-1}}{2}$，
${a_n}=1+\frac{{{3^{n-1}}-1}}{2}=\frac{{{3^{n-1}}+1}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．