Question

【題目】如圖，四棱錐中， ，且平面， 為棱的中點(diǎn)．

(1)求證： ∥平面;

(2)求證：平面平面;

(3)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，判斷直線與直線是否垂直，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）取線段的中點(diǎn)，利用平幾知識(shí)得四邊形是平行四邊形,得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得.再根據(jù)線面垂直性質(zhì)得，由線面垂直判定定理得平面.即得平面.最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（3）先根據(jù)體積公式得時(shí)體積最大.再根據(jù)線面垂直得. 由線面垂直判定定理得平面，即得

試題解析：

（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn)，

所以在中， .

又， ,所以.

所以四邊形是平行四邊形, 所以.

又平面, 平面,所以平面.

（2）因?yàn)?/span>, 為中點(diǎn),所以.

又平面, 平面,所以

又,所以平面.

又，所以平面.

因?yàn)?/span>平面,所以平面平面.

（3）.

設(shè)，

則四面體的體積 .

當(dāng)，即時(shí)體積最大.

又平面, 平面,所以.

因?yàn)?/span>,所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.