Question

【題目】已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）和B（4，﹣2），且圓心C在直線(xiàn)l：x+y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N為圓C上兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，求直線(xiàn)MN的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）∴直線(xiàn)AB的斜率
∴直線(xiàn)AB的垂直平分線(xiàn)的斜率為1
又線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為
∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程是 ，即x﹣y﹣3=0
∵圓心C在直線(xiàn)l：x+y+1=0上
∴圓心C的坐標(biāo)是方程組 的解，得圓心C的坐標(biāo)（1，﹣2）
∴圓C的半徑長(zhǎng)
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9
（Ⅱ）設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為P，半徑為r
∵M(jìn)，N是圓C上的兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線(xiàn)l：x+y+1=0對(duì)稱(chēng)
∴點(diǎn)P在直線(xiàn)l：x+y+1=0上
∴可以設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣1﹣m）
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O
∴以MN為直徑的圓的半徑長(zhǎng)
∵M(jìn)N是圓C的弦，
∴|CP|2+r2=9，即（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=﹣1或
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，0）或
∵直線(xiàn)MN垂直直線(xiàn)l：x+y+1=0，
∴直線(xiàn)MN的斜率為1
∴直線(xiàn)MN的方程為：x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=0
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，分析可得圓C的圓心是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)，先求出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程，與直線(xiàn)l聯(lián)立可得圓心C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓的半徑，即可得答案；（Ⅱ）設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為P，半徑為r，可以設(shè)p的坐標(biāo)為（m，﹣1﹣m），結(jié)合直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系可得（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐標(biāo)，分析可得直線(xiàn)MN的斜率為1，由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得答案．