Question

14．已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中的棱BC和C₁D₁的中點(diǎn)，求：
（1）線段EF的長(zhǎng)；
（2）線段EF與平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過F作FG⊥平面ABCD，垂足為G，連結(jié)GE，BD，分別求出EG和FG的長(zhǎng)，利用勾股定理能求出EF的長(zhǎng)．
（2）由FG⊥底面ABCD，平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD，得∠FEG與線段EF與平面A₁B₁C₁D₁所成角相等，由此能求出線段EF與平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值的大小．

解答 解：（1）過F作FG⊥平面ABCD，垂足為G，連結(jié)GE，BD，
∵E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中的棱BC和C₁D₁的中點(diǎn)，
∴FG⊥EG，F(xiàn)G=a，EG=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∴$EF=\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}a}{2}$．
（2）∵FG⊥底面ABCD，平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD，
∴∠FEG與線段EF與平面A₁B₁C₁D₁所成角相等，
∵$cos∠FEG=\frac{EG}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{\frac{\sqrt{6}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴線段EF與平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．