【題目】正整數(shù)的所有約數(shù)之和用表示，（比如）.試答下列各問：

（1）證明：如果和互質(zhì)，那么；

（2）當(dāng)是的約數(shù)（），且.試證是質(zhì)數(shù).其次，如果是正整數(shù)，是質(zhì)數(shù)，試證也是質(zhì)數(shù)；

（3）設(shè)（為正整數(shù)，為奇數(shù)），且.試證存在質(zhì)數(shù)，使得.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3) （為質(zhì)數(shù)）

【解析】

（1）設(shè)的約數(shù)為，的約數(shù)為.因，互質(zhì)，故的約數(shù)是（，）.有

.

（2）因，，1是的約數(shù)，如果，則，故.因此僅當(dāng)時(shí)，才能有，亦即對來說，除和1之外再無約數(shù)，故為質(zhì)數(shù).一般地，由

，

如果，則

，

它的任何一個(gè)因數(shù)也不為1，因此非質(zhì)數(shù).

（3）因?yàn)?/span>和互質(zhì).

.

另一方面，由，

， ①

因?yàn)?/span>是奇數(shù)，故（是奇數(shù)），由①得，亦即，是的約數(shù).，因此，由此引用（2）的前半部，，為質(zhì)數(shù).

則 是質(zhì)數(shù)，

即 是質(zhì)數(shù).

綜合以上可得（為質(zhì)數(shù)）.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六組[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求分?jǐn)?shù)在[120，130）內(nèi)的頻率；

（2）估計(jì)本次考試的中位數(shù)；

（3）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130）的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120，130）內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)， ．

（1）解方程．

（2）令，求的值．

（3）若是定義在上的奇函數(shù)，且對任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)（2）求出的線性同歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?（參考數(shù)值）

（附，，其中，為樣本均值）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.

（Ⅰ）若，求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若，方程至少有兩個(gè)不等的解，求的取值集合；

（Ⅲ）若函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)，

①求的取值范圍；

②若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值集合.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)則不等式的解集為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)、和，滿足，且對任意實(shí)數(shù)、（），恒有成立.

⑴試寫 出一組滿足條件的具體的和，使為增函數(shù)，為減函數(shù)，但為增函數(shù).

⑵判斷下列兩個(gè)命題的真假，并說明理由.

命題1）：若為增函數(shù)，則為增函數(shù)；

命題2）：若為增函數(shù)，則為增函數(shù).

⑶已知，寫出一組滿足條件的具體的和，且為非常值函數(shù)，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí),求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；

（3）若，函數(shù)在處取得最小值，證明：.

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