Question

12．求定積分${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx的值．

Answer 1

分析 利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將$\sqrt{1-sin2x}$轉(zhuǎn)化成丨sinx-cosx丨，根據(jù)三角函數(shù)圖象，去掉絕對(duì)值，將定積分化簡(jiǎn)${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（cosx-sinx）+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$（sinx-cosx）dx，即可求得${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx的值．

解答 解：${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x-2sinxcosx}$dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$丨sinx-cosx丨dx
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（cosx-sinx）+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$（sinx-cosx）dx
=（sinx+cosx）${丨}_{0}^{\frac{π}{4}}$+（-cosx-sinx）${丨}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$
=2$\sqrt{2}$-2，
∴${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{1-sin2x}$dx=2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角公式、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)與定積分的綜合運(yùn)用，要求學(xué)生掌握含有絕對(duì)值的定積分的求法，屬于中檔題．