Question

3．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，側(cè)棱AA₁=$\sqrt{2}$，M為A₁B₁的中點(diǎn)，則AM與平面AA₁C₁C所成角的正切值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 法1．取A₁C₁的中點(diǎn)D，連接DM，則∠MAD是AM與平面AA₁C₁C所的成角，
法2：以C₁點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，C₁A₁，C₁B₁，C₁C分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分另求出直線AM的方向向量與平面AA₁C₁C的法向量，代入向量夾角公式，即可求出AM與平面AA₁C₁C所成角的正切值．

解答 解：法1：取A₁C₁的中點(diǎn)D，連接DM，
則DM∥C₁B₁，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°，
∴DM⊥平面AA₁C₁C，
則∠MAD是AM與平面AA₁C₁C所的成角，
則DM=$\frac{1}{2}$，AD=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{4}}$=$\frac{3}{2}$，
則tan∠MAD=$\frac{DM}{AD}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$．
法2：以C₁點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，C₁A₁，C₁B₁，C₁C分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，
則∵AC=BC=1，側(cè)棱AA₁=$\sqrt{2}$，M為A₁B₁的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-1，0）為平面AA₁C₁C的一個法向量
設(shè)AM與平面AA₁C₁C所成角為θ
則sinθ=|$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AM}\right|•\left|\overrightarrow{BC}\right|}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
則tanθ=$\frac{1}{3}$
故選：A

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中利用定義法以及建立坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．