16.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的部分圖象如圖所示,且滿足f(0)=f($\frac{π}{3}$)則下列說法正確的是(  )
A.f(x)的最小正周期為2πB.f(x)在[0,$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)
C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{5}{6}$π對稱D.f($\frac{2π}{3}$)=-2

分析 由題意求出A,T,利用周期公式求出ω,利用當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2,求出φ,得到函數(shù)的解析式,利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一分析各個選項即可得解.

解答 解:由題意可知A=2,
∵滿足f(0)=f($\frac{π}{3}$),
∴當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2,
∴T=4($\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$)=π,可得:ω=2,
∴由2sin($\frac{π}{6}$×2+φ)=2,可得:$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
∴可得:φ=2kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,又|φ|<$\frac{π}{2}$,可得:φ=$\frac{π}{6}$,
∴函數(shù)f(x)的解析式:f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),
對于A,由于T=$\frac{2π}{2}$=π,故錯誤;
對于B,當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2,f(x)在[0,$\frac{π}{4}$]上不是增函數(shù),故錯誤;
對于C,x=$\frac{5}{6}$π,則f($\frac{5}{6}$π)=2sin(2×$\frac{5}{6}$π+$\frac{π}{6}$)=-1,不是最值,故錯誤;
對于D,f($\frac{2π}{3}$)=2sin(2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$)=-2,正確.
故選:D.

點評 本題是基礎(chǔ)題,考查由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),注意函數(shù)的周期的求法,考查計算能力,?碱}型,屬于中檔題.

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