Question

3．設(shè)a＞0且a≠1，如果函數(shù)y=a^2x+2a^x-1在[-1，1]上的最大值為7，求a的值．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值是7，我們利用換元法，及二次函數(shù)的性質(zhì)，我們易構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）a＞1時(shí)，令a^x=t，x∈[-1，1]，則$t∈[\frac{1}{a}，a]$，
f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2在$[\frac{1}{a}，a]$上單調(diào)遞增，
∴$f（t）_{max}=f（a）={a}^{2}+2a-1=7$即a²+2a-8=0，解得a=-4（舍去）或a=2．
（2）0＜a＜1時(shí)，令a^x=t，x∈[-1，1]，則$t∈[a，\frac{1}{a}]$，
f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2在$[a，\frac{1}{a}]$上單調(diào)遞增，
∴$f（t）_{max}=f（\frac{1}{a}）=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{2}{a}-1=7$．
解得$a=-\frac{1}{4}$（舍去）或$a=\frac{1}{2}$．
綜上：a=2或$a=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，指數(shù)函數(shù)的值域，二次函數(shù)的單調(diào)性，其中利用換元法將已知中的函數(shù)化為二次函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．