Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0），F(xiàn)為其焦點，離心率為e．
（Ⅰ）若拋物線x=y²的準(zhǔn)線經(jīng)過F點且橢圓C經(jīng)過P（2，3），求此時橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過A（0，a）的直線與橢圓C相切于M，交x軸于B，且=，求證：μ+c²=0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意知F（-2，0），即c=2，由橢圓定義知：，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為：y=kx+a，根據(jù)過A（0，a）的直線與橢圓相切可得：（a²k²+b²）x²+2a³kx+a²c²=0，由△=4a⁶k²-4a²c²（a²k²+b²）=0，知，由此入手能夠證明μ+c²=0．
解答：解：（Ⅰ）依題意知F（-2，0），即c=2，（2分）
由橢圓定義知：，（3分）
所以b²=12，
即橢圓C的方程為：．（5分）
（Ⅱ）證明：由題意可設(shè)直線的方程為：y=kx+a
根據(jù)過A（0，a）的直線與橢圓相切
可得：（a²k²+b²）x²+2a³kx+a²c²=0（8分）
△=4a⁶k²-4a²c²（a²k²+b²）=0⇒a²k²（a²-c²）=c²b²⇒k²=e²（10分）
易知，
設(shè)M（x，y）則由上知（11分）
由知，，
∴μ+c²=0（13分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要靈活地運用橢圓的性質(zhì)，要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．