Question

（1）已知矩陣M=

1 2 2 x

的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．
（2）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．OE交AD于點(diǎn)F．
①求證：DE是⊙O的切線；②若

AC

AB

=

3

5

，求

AF

DF

的值．
（3）在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=t y=1+2t

（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：矩陣特征值的定義

專題：矩陣和變換

分析：本題（1）先根據(jù)特征多項(xiàng)式，利用已知的特征值，求出參數(shù)x的值，再求出另一個(gè)特征值，以及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量；（2）

解答： 解：（1）∵矩陣M=

1 2 2 x

，
∴矩陣M的一個(gè)特征多項(xiàng)式為：f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4．
∵矩陣M的一個(gè)特征值為3，
∴f（3）=0，
即（3-1）（3-x）-4=0，
∴x=1．
∴f（λ）=（λ-1）（λ-1）-4=（λ-3）（λ+1），
令f（λ）=0，
λ=3或λ=-1，
當(dāng)λ=-1時(shí)，
-2x-2y=0，
取x=1，則y=-1，
∴另一個(gè)特征值為-1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為

1 -1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩陣的特征值、特征向量，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．