Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁為棱長為1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱BC，CC₁上，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，設(shè)BP=x，CQ=y，其中x，y∈[0，1]，下列命題正確的是

 

．（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①當(dāng)x=0時(shí)，S為矩形，其面積最大為1；
②當(dāng)x=y=

1

2

時(shí)，S為等腰梯形；
③當(dāng)x=

1

2

，y∈（

1

2

，1）時(shí)，設(shè)S與棱C₁D₁的交點(diǎn)為R，則RD₁=2-

1

y

；
④當(dāng)y=1時(shí)，以B₁為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐的體積為定值

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關(guān)系找出截面，再判斷每一個(gè)選項(xiàng)是否正確．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)x=0時(shí)，過點(diǎn)A，P，Q的截面S是矩形，其面積最大是1×

2

=

2

，∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)x=y=

1

2

時(shí)，如圖所示，
過點(diǎn)A，P，Q的截面S是等腰梯形，∴②正確；
對(duì)于③，當(dāng)x=

1

2

，y∈（

1

2

，1）時(shí)，設(shè)S與棱C₁D₁的交點(diǎn)為R，如圖，
延長DD₁，使DD₁∩QR=N，連接AN交A₁D₁于S，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N，
可得RD₁=2-

1

y

，∴③正確；
④當(dāng)y=1時(shí)，以B₁為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐B₁-APC₁M如圖所示，
該四棱錐的體積為VB1-APC1M=2VB1-PC1M=2VP-B1C1M
=2×

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

，∴④正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間幾何體的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形，結(jié)合圖形解答問題，是中檔題目．