Question

已知f（x）=e^x+x²-x；
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱，寫出g（x）的表達式，并比較g（x）與f（x）的大小；
（3）若f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＜0．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，利用二次求導求導函數(shù)的符號，（2）函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象關于x軸對稱，則有g（x）=-f（x），（3）先由（1）得f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，故x₁、x₂不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；設x₁＜0＜x₂，令g（x）=f（x）-f（-x），由函數(shù)g（x）的單調(diào)性，即g（x₁）＜g（0）=0．再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+x²-x，
∴f′（x）=e^x+2x-1，f″（x）=e^x+2＞0，
∴f′（x）=e^x+2x-1為單調(diào)增函數(shù)
令f′（x）=0，可得x=0
當x＜0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)減，當x＞0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)增，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0]，增區(qū)間為（0，+∞）．
（2）若g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱，則g（x）=-f（x）=-e^x_-x^2₊x，
做差得f（x）-g（x）=2（e^x+x²-x）=2f（x），
令F（x）=2f（x），由（1）可知F（x）與f（x）一樣在（-∞，0]，單調(diào)遞減，在（0，+∞）．單調(diào)遞增，x=0時取得最小值F（0）=1，
所以f（x）-g（x）＞0，即g（x）＜f（x）．
（3）證明：）∵f（x₁）=f（x₂），且滿足x₁≠x₂，由（1）可知x₁，x₂異號．
不妨設x₁＜0＜x₂，則-x₁＞0．
令g（x）=f（x）-f（-x）=e^x+x²-x-（e^-x+x²+x）
=e^x-e^-x-2x，
則g′（x）=e^x+e^-x-2≥2

exe-x

-2=0，
所以g（x）在R上是增函數(shù)，
又g（x₁）=f（x₁）-f（-x₁）＜g（0）=0，∴f（x₂）=f（x₁）＜f（-x₁），
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴x₂＜-x₁，即x₁+x₂＜0．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．