Question

10．已知函數(shù)$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}-1}}（a∈R）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分式中分母不能為0，即可求得定義域．
（Ⅱ）直接利用奇偶性的定義進行假設后判斷求值．

解答 解：（Ⅰ）由題意：∵2^x-1≠0，
解得：x≠0
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}．
（Ⅱ） 解法一：
函數(shù)定義域關于原點對稱，假設存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，那么必有f（x）在x=±1時均有定義，
且f（x）為奇函數(shù)，
∴$f（-1）+f（1）=2a+\frac{2}{{\frac{1}{2}-1}}+\frac{2}{2-1}=2a-2=0$，解得：a=1．
此時，$f（x）=1+\frac{2}{{{2^x}-1}}=\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}$．
∵$f（-x）=1+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}=\frac{{1+{2^x}}}{{1-{2^x}}}$，
∴f（-x）=-f（x）
∴存在實數(shù)a=1使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
解法二：函數(shù)定義域關于原點對稱，假設存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵$f（-x）=a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}$，$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
∵f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）
則有$a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}=-（a+\frac{2}{{{2^x}-1}}）$，
整理得：2a=2，解得：a=1．
∴存在實數(shù)a=1使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)定義域的求法和奇偶性的判斷．屬于基礎題．