Question

18．已知α，β都是銳角，$sinα=\frac{4}{5}，cos（α+β）=-\frac{8}{17}$，則cosβ=$\frac{36}{85}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，sin（α+β）的值，由于β=（α+β）-α，利用兩角差的余弦即可求得cosβ．

解答 解：∵α，β都是銳角，$sinα=\frac{4}{5}，cos（α+β）=-\frac{8}{17}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{15}{17}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=（-$\frac{8}{17}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{15}{17}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{36}{85}$．
故答案為：$\frac{36}{85}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，利用β=（α+β）-α是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．