Question

10．乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用7局4勝制（即先勝4局者獲勝，比賽結束），假設兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同．
（1）求乙以4比1獲勝的概率；
（2）求甲獲勝且比賽局數(shù)多于5局的概率．

Answer 1

分析 （1）記“乙以4比1獲勝”為事件A，則A表示乙贏了3局甲贏了一局，且第五局乙贏，再根據(jù)n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率計算公式求得P（A） 的值．
（2）利用n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率計算公式求得甲以4比2獲勝的概率，以及甲以4比3獲勝的概率，再把這2個概率值相加，即得所求．

解答 解：（1）由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是$\frac{1}{2}$，
記“乙以4比1獲勝”為事件A，則A表示乙贏了3局甲贏了一局，且第五局乙贏，
∴P（A）=${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$．
（2）記“甲獲勝且比賽局數(shù)多于5局”為事件B，則B表示甲以4比2獲勝，或甲以4比3獲勝．
因為甲以4比2獲勝，表示前5局比賽中甲贏了3局且第六局比賽中甲贏了，
這時，無需進行第7局比賽，故甲以4比2獲勝的概率為${C}_{5}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{32}$．
甲以4比3獲勝，表示前6局比賽中甲贏了3局且第7局比賽中甲贏了，
故甲以4比3獲勝的概率為${C}_{6}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{32}$，
故甲獲勝且比賽局數(shù)多于5局的概率為$\frac{5}{32}$+$\frac{5}{32}$=$\frac{5}{16}$．

點評 本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1減去它的對立事件概率，屬于中檔題．