Question

6．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞1）的左、右焦點依次為F₁、F₂，D（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）在橢圓E上，點G為點D關(guān)于原點的對稱點．
（1）求橢圓E的方程及點G的坐標；
（2）求△F₂DG的周長及面積；
（3）設(shè)點P（x，y）為橢圓E上不與點D、G重合的動點，且直線PD與PG的斜率均存在，判斷直線PD、PG的斜率乘積是否為定值．若是，求出該值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把D點代入橢圓方程求出a即可；
（2）連結(jié)GF₁，DF₁，則四邊形DF₁GF₂是平行四邊形，利用橢圓的定義得出三角形的周長，代入面積公式計算面積；
（3）設(shè)P（2cosθ，sinθ），利用三角函數(shù)恒等變換計算k_PD•k_PG即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵D（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）在橢圓E上，
∴$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{9}$=1，解得a²=4，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）∵點G為點D關(guān)于原點的對稱點，∴G（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
又F₂（$\sqrt{3}$，0），∴DG=2OD=2$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
連結(jié)DF₁，GF₁，則四邊形DF₁GF₂是平行四邊形，
∴DF₂+GF₂=DF₂+DF₁=2a=4．
∴△F₂DG的周長為4+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴△F₂DG的面積為2S${\;}_{△OD{F}_{2}}$=2×$\frac{1}{2}$×OF₂×y_D=$\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（3）設(shè)P點坐標為（2cosθ，sinθ），則k_PD=$\frac{sinθ-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2cosθ-\frac{2}{3}}$=$\frac{3sinθ-2\sqrt{2}}{6cosθ-2}$，
k_PG=$\frac{sinθ+\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2cosθ+\frac{2}{3}}$=$\frac{3sinθ+2\sqrt{2}}{6cosθ+2}$．
∴k_PD•k_PG=$\frac{3sinθ-2\sqrt{2}}{6cosθ-2}$•$\frac{3sinθ+2\sqrt{2}}{6cosθ+2}$=$\frac{9si{n}^{2}θ-8}{36co{s}^{2}θ-4}$=$\frac{1-9co{s}^{2}θ}{36co{s}^{2}θ-4}$=-$\frac{1}{4}$．
∴直線PD、PG的斜率乘積定值-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．