Question

6．設(shè)$f（x）={x^3}+{log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）$，則對任意實數(shù)a、b，若a+b≥0則（　　）

• A． f（a）+f（b）≤0
• B． f（a）+f（b）≥0
• C． f（a）-f（b）≤0
• D． f（a）-f（b）≥0

Answer 1

分析 求解函數(shù)f（x）的定義域，判斷其奇偶性和單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性可得答案．

解答 解：設(shè)$f（x）={x^3}+{log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）$，其定義域為R，
$f（-x）={-x^3}+{log_2}（-x+\sqrt{{x^2}+1}）$=$-{x}^{3}-lo{g}_{2}（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增，
那么：a+b≥0，即a≥-b，
∴f（a）≥f（-b），
得f（a）≥-f（b），
可得：f（a）+f（b）≥0．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及其運用能力．屬于基礎(chǔ)題．