Question

11．設(shè)[x]表不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，又g（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0，a≠1），那么函數(shù)f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域是{0，-1}．

Answer 1

分析 由題意可得出g（x）+g（-x）=1，g（x）=1-$\frac{1}{{a}^{x}+1}$∈（0，1）；再對(duì)g（x）與g（-x）的分類區(qū)間討論即可；

解答 解：由題意知g（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0，a≠1），則：
g（-x）=$\frac{{a}^{-x}}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1}{{a}^{x}+1}$；
所以，g（x）+g（-x）=1；
又由于g（x）=1-$\frac{1}{{a}^{x}+1}$∈（0，1）；
故當(dāng)g（x）∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，g（-x）∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，
f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]
=-1+0=-1；
當(dāng)g（x）=g（-x）=$\frac{1}{2}$，
f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]=0+0=0；
當(dāng)g（x）∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，g（-x）∈（0，$\frac{1}{2}$），
f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]=0+（-1）=-1；
綜上所述，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧0，-1}；
故答案為：{-1，0}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，以及對(duì)創(chuàng)新題型定義的理解應(yīng)用，屬中等題．