Question

16．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）求C₁及直線l的直角坐標方程
（2）在曲線C₁上求一點P，使點P到直線l的距離最小，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$得x²+y²=1，利用極坐標與直角坐標互化方法得到直線l的直角坐標方程；
（2）利用參數(shù)，求出圓心到直線的距離，即可得出結論．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$得x²+y²=1，
由ρ（2cosθ-sinθ）=6，∴2ρcosθ+ρsinθ=6，
直線的直角坐標方程為：2x+y-6=0．
（2）圓心為（0，0），r=1，圓心到直線的距離$d=\frac{{|{2cosθ+sinθ-6}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{{|{\sqrt{5}sin（θ+φ）-6}|}}{{\sqrt{5}}}，sinφ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosφ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
當$θ+φ=\frac{π}{2}$時P到直線的距離最短，此時$x=cosθ=sinφ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，y=sinθ=coφ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
所以點P坐標是$（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$，
圓上的點P到直線的最短距離為$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}-1$，最大距離為$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}+1$．

點評 本題考查參數(shù)方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．