Question

9．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)的和為55，且a₂，$\sqrt{{a_6}+{a_7}}，{a_4}$-9成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{1}{{（{a_n}-6）（{a_n}-4）}}$，求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}=55}\\{{a}_{6}+{a}_{7}={a}_{2}（{a}_{4}-9）}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=55\\{（\sqrt{{a_1}+5d+{a_1}+6d}）^2}=（{a_1}+d）（{a_1}+3d-9）\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}=7\\ d=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=11\\ d=0\end{array}\right.$（舍去），
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=7+2（n-1）即a_n=2n+5；
（2）證明：由（1）a_n=2n+5，
得${b_n}=\frac{1}{{（{a_n}-6）（{a_n}-4）}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
則${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．