Question

已知

π

4

＜β＜

π

2

＜α＜

3π

4

，cos(α-β)=

12

13

，sin(α+β)=-

3

5

，則cos2β=

-

63

65

．

Answer 1

分析：先利用平方關(guān)系求出cos（α+β）=-

4

5

，sin（α-β）=

5

13

，然后利用差角公式可求得cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]的值，注意判斷相關(guān)三角函數(shù)值的符號．

解答：解：由

π

4

＜β＜

π

2

＜α＜

3π

4

，得

3

4

π＜α+β＜

5

4

π，
又sin（α+β）＜0，所以π＜α+β＜

5

4

π，
所以cos（α+β）=-

4

5

，
由已知可得0＜α-β＜

π

2

，所以sin（α-β）=

5

13

，
所以cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）]+sin（α+β）sin（α-β）
=（-

4

5

）×

12

13

+（-

3

5

）×

5

13

=-

63

65

．
故答案為：-

63

65

．

點評：本題考查二倍角的余弦、兩角和與差的正弦函數(shù)，考查學(xué)生的運算求解能力，屬中檔題．