Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1-2a_n=n+1，n∈N^*
（1）求證：數(shù)列{a_n+n+2}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求a_n和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1-2a_n=n+1，n∈N^*．變形為a_n+1+（n+3）=2（a_n+n+2），即可證明；
（2）由（1）可得a_n+n+2=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，可得an=2n+1-(n+2)．再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵a_n+1-2a_n=n+1，n∈N^*．
∴a_n+1+（n+3）=2（a_n+n+2），
a₁+1+2=4，
∴數(shù)列{a_n+n+2}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為4；
（2）解：由（1）可得a_n+n+2=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1-(n+2)．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

4(2n-1)

2-1

-

n(3+n+2)

2

=2ⁿ⁺¹-4-

1

2

n2-

5

2

n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．