【題目】如圖,分別過橢圓左、右焦點的動直線相交于點,與橢圓分別交于與不同四點,直線的斜率滿足.已知當與軸重合時,,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在定點,使得為定值?若存在,求出點坐標并求出此定值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),和.
【解析】試題分析:(1)當與軸重合時,垂直于軸,得,得,從而得橢圓的方程;(2)由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,所以把坐標化,可得點的軌跡是橢圓,從而求得定點和點.
試題解析:當與軸重合時,, 即,所以垂直于軸,得,,, 得,橢圓的方程為.
焦點坐標分別為, 當直線或斜率不存在時,點坐標為或;
當直線斜率存在時,設(shè)斜率分別為, 設(shè)由, 得:
, 所以:,, 則:
. 同理:, 因為
, 所以, 即, 由題意知, 所以
, 設(shè),則,即,由當直線或斜率不存在時,點坐標為或也滿足此方程,所以點在橢圓上.存在點和點,使得為定值,定值為.
考點:圓錐曲線的定義,性質(zhì),方程.
【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應用進行考查,第一問通過兩個特殊位置,得到基本量,,得,,從而得橢圓的方程,第二問由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,本題的關(guān)鍵是從這個角度出發(fā),把坐標化,求得點的軌跡方程是橢圓,從而求得存在兩定點和點.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知,,.
(Ⅰ)若,求的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)的兩個零點為,記,證明:.
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【題目】寫出下列命題的否定,并判斷所得命題的真假:
(1);
(2)有的三角形是等邊三角形;
(3)有一個偶數(shù)是素數(shù)
(4)任意兩個等邊三角形都相似;
(5).
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【題目】已知函數(shù).
(1)若f (x)在區(qū)間(-∞,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=0,x0<1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x=x0處的切線,求證:f (x)≤g(x).
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【題目】隨著經(jīng)濟模式的改變,微商和電商已成為當今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi),沒售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元,未售出的商品,每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗,得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品,現(xiàn)以(單位:噸,)表示下一個銷售季度的市場需求量,(單位:萬元)表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.
(Ⅰ)視分布在各區(qū)間內(nèi)的頻率為相應的概率,求;
(Ⅱ)將表示為的函數(shù),求出該函數(shù)表達式;
(Ⅲ)在頻率分布直方圖的市場需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值(組中值)代表該組的各個值,并以市場需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場需求量取該組中值的概率(例如,則取的概率等于市場需求量落入的頻率),求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】已知是二次函數(shù),不等式<0的解集是(0,5),且在區(qū)間[-1,4]上的最大值是12.
(1)求的解析式.
(2)作出二次函數(shù)y=在 [-1,4]上的圖像并求出值域.
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【題目】如圖,在矩形中, , , 是的中點,以為折痕將向上折起, 變?yōu)?/span>,且平面平面.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求二面角的大小.
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【題目】未來創(chuàng)造業(yè)對零件的精度要求越來越高.打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機來實現(xiàn)的,常在模具制造、工業(yè)設(shè)計等領(lǐng)域被用于制造模型,后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造,已經(jīng)有使用這種技術(shù)打印而成的零部件.該技術(shù)應用十分廣泛,可以預計在未來會有發(fā)展空間.某制造企業(yè)向高校打印實驗團隊租用一臺打印設(shè)備,用于打印一批對內(nèi)徑有較高精度要求的零件.該團隊在實驗室打印出了一批這樣的零件,從中隨機抽取個零件,度量其內(nèi)徑的莖葉圖如圖(單位:).
(1)計算平均值與標準差;
(2)假設(shè)這臺打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑服從正態(tài)分布,該團隊到工廠安裝調(diào)試后,試打了個零件,度量其內(nèi)徑分別為(單位:):、、、、,試問此打印設(shè)備是否需要進一步調(diào)試?為什么?
參考數(shù)據(jù):,,,,.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線過點,其參數(shù)方程為(為參數(shù), ),以為極點, 軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)求已知曲線和曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.
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