Question

13．2015年9月3號，抗戰(zhàn)勝利70周年紀(jì)念活動在北京隆重舉行，受到全國矚目，紀(jì)念活動包括紀(jì)念大會、閱兵式、招待會和文化晚會（招待會和文化晚會算1項活動）等3項，據(jù)統(tǒng)計，其中有60名抗戰(zhàn)老兵由于身體原因，參加這3項活動的情況如下表所示：

參加紀(jì)念活動 項數(shù)	0	1	2	3
所占比例	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

（Ⅰ）若從該60名抗戰(zhàn)老兵中按照參加項數(shù)分層抽樣，抽取6人了解情況．再從抽取的6人中選取2人座談，求這2人至少1人參加了3項活動的概率；
（Ⅱ）醫(yī)療部門決定在（Ⅰ）中抽取到的6名抗戰(zhàn)老兵中隨機抽取2名進行體檢，設(shè)參加3項活動的抗戰(zhàn)老兵有ξ名接受體檢，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由分層抽樣性質(zhì)得抽中沒能活動人數(shù)為1人，參加1項活動人數(shù)為1人，參加2項活動人數(shù)為2人，參加3項活動人數(shù)為2人，再從抽取的6人中選取2人座談，基本事件部數(shù)n=${C}_{6}^{2}$=15，由此利用對立事件概率計算公式能求出這2人至少1人參加了3項活動的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由已知得60名抗戰(zhàn)老兵中有10人沒有參加活動，
10人參加了1項活動，20人參加了2項活動，20人參加了1項活動，
按分層抽樣抽取6人了解題，抽中沒能活動人數(shù)為：$10×\frac{6}{60}$=1人，
抽中參加1項活動人數(shù)為：10×$\frac{6}{60}$=1人，
抽中參加2項活動人數(shù)為：20×$\frac{6}{60}$=2人，
抽中參加3項活動人數(shù)為：20×$\frac{6}{60}$=2人，
再從抽取的6人中選取2人座談，基本事件部數(shù)n=${C}_{6}^{2}$=15，
這2人至少1人參加了3項活動的概率：
p=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	3
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

Eξ=$0×\frac{2}{5}+1×\frac{8}{15}+3×\frac{1}{15}$=$\frac{11}{15}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．