Question

2．如圖，某市園林局準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC以外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花．若BC=a（a為定值），∠ABC=α，設△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂；
（1）用a，α表示S₁，S₂
（2）當α為何值時，$\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$取得最大值，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=α，由AB=acosα，AC=asinα，能求出S₁；設正方形PQRS的邊長為x，則BP=$\frac{x}{sinα}$，AP=xcosα，由BP+AP=$\frac{x}{sinα}+xcosα$，AB=acosα，AP+BP=AB，能求出S₂．
（2）$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{4sin2α}{4+si{n}^{2}2α+4sin2α}$，令sin2α=t，推導出$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}+4}$，0＜t≤1，設f（t）=t+$\frac{4}{t}+4$（0＜t≤1），推導出f（t）=t+$\frac{4}{t}$+4在（0，1]上單調遞減，由此能求出$\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$的最大值及相應的α．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=α，
∴AB=acosα，AC=asinα，
∴S₁=$\frac{1}{2}{a}^{2}sinαcosα$=$\frac{1}{4}{a}^{2}sin2α$，
設正方形PQRS的邊長為x，則BP=$\frac{x}{sinα}$，AP=xcosα，
由BP+AP=$\frac{x}{sinα}+xcosα$，AB=acosα，又AP+BP=AB，
∴x=$\frac{αsinαcosα}{1+sinαcosα}$=$\frac{asin2α}{2+sin2α}$，
∴S₂=x²=（$\frac{asin2α}{2+sin2α}$）²=$\frac{{a}^{2}si{n}^{2}2α}{4+si{n}^{2}2α+4sin2α}$．
（2）$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{\frac{{a}^{2}si{n}^{2}2α}{1+si{n}^{2}2α+4sin2α}}{\frac{1}{4}{a}^{2}sin2α}$
=$\frac{4sin2α}{4+si{n}^{2}2α+4sin2α}$，
令sin2α=t，由0＜α＜$\frac{π}{2}$，得0＜2α＜π，∴0＜t≤1．
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{4t}{4+{t}^{2}+4t}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}+4}$，0＜t≤1，
設f（t）=t+$\frac{4}{t}+4$（0＜t≤1），任取0＜t₁＜t₁≤1，
則f（t₁）-f（t₂）=${t}_{1}+\frac{4}{{t}_{1}}$-${t}^{2}-\frac{4}{{t}^{2}}$=（t₁-t₂），$\frac{（{t}_{1}{t}_{2}-4）}{{t}_{1}{t}_{2}}$＞0，
∴f（t）=t+$\frac{4}{t}$+4在（0，1]上單調遞減，∴f（t）≥9，
∴0＜$\frac{4}{t+\frac{4}{t}+4}$≤$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$的最大值為$\frac{4}{9}$，此時α=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查三角形面積、正方形面積的求法，考查三角形面積、正方形面積比值的最大值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．