定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù))使得f(x)≥g(x)對(duì)任意的x∈R都成立,則稱(chēng)
g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù).以下說(shuō)法
(1)函數(shù)f(x)=x2-2x不存在承托函數(shù);
(2)函數(shù)f(x)=x3-3x不存在承托函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數(shù);
(4)g(x)=1為函數(shù)f(x)=x4-2x3+x2+1的一個(gè)承托函數(shù);
(5)g(x)=x為函數(shù)f(x)=ex-1的一個(gè)承托函數(shù).
中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A、1B、2C、3D、4
分析:根據(jù)承托函數(shù)的定義知:只要函數(shù)f(x)有最小值,就一定有承托函數(shù)g(x),只要g(x)的最大值小于等于f(x)的最小值即可
(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2x為二次函數(shù)可用配方法求最小值,就可判斷有無(wú)承托函數(shù);
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3-3x為三次函數(shù)可用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,從而可知函數(shù)有無(wú)最小值,就可判斷有無(wú)承托函數(shù);
(3)根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)可采用判別式求值域,從而可知函數(shù)有無(wú)最小值,就可判斷有無(wú)承托函數(shù);
(4)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x4-2x3+x2+1為四次函數(shù)可用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,從而可知函數(shù)最小值,就可判斷g(x)=1是不是它的承托函數(shù);
(5)因?yàn)閑x>0,所以函數(shù)f(x)=ex-1>-1,而g(x)=x≤-1不能恒成立,就可判斷g(x)=x不是它的承托函數(shù).
解答:解:根據(jù)承托函數(shù)的定義知:只要函數(shù)f(x)有最小值,就一定有承托函數(shù)g(x),只要g(x)的最大值小于等于f(x)的最小值即可.
(1)錯(cuò),因?yàn)閒(x)=x2-2x=(x-1)2-1,當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最小值-1
所以存在承托函數(shù),例如:g(x)=-1就是其中一個(gè);
(2)對(duì),因?yàn)閒(x)=x3-3x的導(dǎo)數(shù)f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,得:x=±1
所以,當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增.
由此可知:函數(shù)無(wú)最小值,不存在承托函數(shù);
(3)錯(cuò),因?yàn)?span id="b3hjllr" class="MathJye">f(x)=
2x
x2-x+1
定義域?yàn)镽,用判別式法求值域如下:
y=
2x
x2-x+1
變形得:yx2-(y+2)x+y=0
當(dāng)y=0時(shí),x=0
當(dāng)y≠0時(shí),由△=(y+2)2-4y2≥0得:-
2
3
≤y<0或0<y≤2

綜上可知:-
2
3
≤y≤2
,故y有最小值-
2
3

所以,f(x)=
2x
x2-x+1
存在承托函數(shù),例如:g(x)=-
2
3

(4)對(duì),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x4-2x3+x2+1的導(dǎo)數(shù) f′(x)=4x3-6x2+2x=2x(2x-1)(x-1)
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,
1
2
)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(
1
2
,1)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增
又∵f(0)=1,f(1)=1,∴f(x)的最小值為1,所以g(x)=1是它的承托函數(shù)
(5)錯(cuò),因?yàn)閑x>0,所以函數(shù)f(x)=ex-1>-1
因?yàn)閷?duì)于x∈R,g(x)=x≤-1顯然不能恒成立,所以,g(x)=x不是函數(shù)f(x)=ex-1的一個(gè)承托函數(shù)
點(diǎn)評(píng):本題給出了一個(gè)數(shù)學(xué)新定義承托函數(shù),所以屬于創(chuàng)新性題目,觀其實(shí)質(zhì)為求函數(shù)最值的問(wèn)題,常見(jiàn)的方法有配方法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法、基本不等式法等等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A、B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,那么稱(chēng)g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù).給出如下四個(gè)命題:
①對(duì)于給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè);
②定義域和值域都是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù);
③g(x)=2x為函數(shù)f(x)=|3x|的一個(gè)承托函數(shù);
g(x)=
12
x
為函數(shù)f(x)=x2的一個(gè)承托函數(shù).
其中正確的命題有
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立,那么稱(chēng)為g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù),給出如下命題:
①定義域和值域都是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù);
②g(x)=2x為函數(shù)f(x)=ex的一個(gè)承托函數(shù);
③g(x)=
1
2
x為函數(shù)f(x)=x2的一個(gè)承托函數(shù);
④對(duì)給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè)
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是( 。
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,那么稱(chēng)g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù).
下列說(shuō)法正確的有:
①②
①②
.(寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào))
①對(duì)給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè);
②g(x)=ex為函數(shù)f(x)=ex的一個(gè)承托函數(shù);
③函數(shù)f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函數(shù);
④函數(shù)f(x)=
1
5x2-4x+11
,若函數(shù)g(x)的圖象恰為f(x)在點(diǎn)p(1,
1
2
)
處的切線,則g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù))使得f(x)≥g(x)對(duì)任意的x∈R都成立,則稱(chēng)g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是( 。
A、函數(shù)f(x)=x2-2x不存在承托函數(shù)
B、g(x)=x為函數(shù)f(x)=sinx的一個(gè)承托函數(shù)
C、g(x)=x為函數(shù)f(x)=ex-1的一個(gè)承托函數(shù)
D、函數(shù)f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:
①f(-1)=2;②x<0時(shí),f(x)>1;③對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)f(y);
(1)求f(0),f(-4)的值; 
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
116
的解集.

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