Question

【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點為，且橢圓經過點，與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線和直線的斜率之積為，求證：直線過定點；

（3）若為橢圓上一點，且，求三角形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據離心率，將用表示，橢圓方程化為，點代入方程，即可求出橢圓的標準方程；

（2）設的方程為，（或），設，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元得到，由，得，且，，，整理得，或（舍），滿足，可得直線過定點

（3），根據向量的關系可得，點到直線距離，即可求解；或將根據橢圓的參數方程，設，，，求得點，又點在橢圓上，整理可得，將用表示，并化簡為，即可求得結論.

（1）∵，∴，∴，又∵橢圓經過點，

∴，∴橢圓的標準方程為；

（2）方法一：的方程為，設，

聯(lián)立方程組，化簡得，

由解得，且，，

∴，

∴，

，

化簡可得：，∴或（舍），滿足，

∴直線的方程為，

∴直線經過定點.

方法二：設的方程為，設，

聯(lián)立方程組，化簡得，

解得：，且，，

∵，

∴，

∴，

化簡可得：，∴或者（舍）滿足

∴直線經過定點；

方法三：設，則有，∴，

設方程為，∴，

∴，∴，∴，

∴，∴，∴，

∴直線經過定點；

（3）點到直線距離，

∴，∴；

方法二：設，

∵，∴點，

又∵點在橢圓上，∴，

∴.

，

∴.