Question

17．已知命題P：x²+x+4≥mx對(duì)一切的x＜0恒成立，命題q：關(guān)于x的一元二次方程x²+（m-3）x+m+5=0的實(shí)數(shù)根均是正數(shù)，若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)于命題p：x²+x+4≥mx對(duì)一切的x＜0恒成立，即$m≥x+\frac{4}{x}+6$對(duì)一切的x＜0恒成立，變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．關(guān)于x的一元二次方程x²+（m-3）x+m+5=0的實(shí)數(shù)根均是正數(shù)，可得$\left\{{\begin{array}{l}{△={{（{m-3}）}^2}-4（{m+5}）≥0}\\{{x_1}+{x_2}=3-m＞0}\\{{x_1}•{x_2}=m+5＞0}\end{array}}\right.$．再利用“p∨q”為真，“p∧q”為假，即可得出．

解答 解：∵x²+x+4≥mx對(duì)一切的x＜0恒成立，即$m≥x+\frac{4}{x}+6$對(duì)一切的x＜0恒成立，
又∵$x+\frac{4}{x}+1=-[{（{-x}）+（{-\frac{4}{x}}）}]+1≤-2\sqrt{（{-x}）（{-\frac{4}{x}}）}+6=-3$，當(dāng)且僅當(dāng)$-x=-\frac{4}{x}$即x=-2時(shí)，取等號(hào)，
∴p為真，則m≥-3．
∵關(guān)于x的一元二次方程x²+（m-3）x+m+5=0的實(shí)數(shù)根均是正數(shù)，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{△={{（{m-3}）}^2}-4（{m+5}）≥0}\\{{x_1}+{x_2}=3-m＞0}\\{{x_1}•{x_2}=m+5＞0}\end{array}}\right.$解得-5＜m≤-1．
∴q為真，則-5＜m≤-1．
∵p∨q”為真，“p∧q”為假，
∴p真q假或p假q真，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m≥-3}\\{m≤-5或m＞-1}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-3}\\{-5＜m≤-1}\end{array}}\right.$，
∴m＞-1或-5＜m＜-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式根與系數(shù)的關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．