Question

5．邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，滿足∠DCB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD和CB的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)H，AC交EF于點(diǎn)O，沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABD，連接PA，PB，PD，得到如圖所示的五棱錐P-ABFED．
（Ⅰ） 求證：BD⊥PA；
（Ⅱ） 求二面角B-AP-O的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證明BD⊥PA；
（Ⅱ） 建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-AP-O的正切值．

解答 證明：（1）因?yàn)槠矫鍼EF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD=EF，PO?PEF，
∴PO⊥ABD
則PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO?APO，PO?APO，
∴BD⊥平面APO，
∵AP?APO，∴BD⊥PA…．（6分）
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸，建立坐標(biāo)系
則$O（0，0，0），A（3\sqrt{3}，0，0），P（0，0，\sqrt{3}），B（\sqrt{3}，2，0）$，…（8分）
設(shè)$\vec n=（x，y，z）為平面OAP的一個(gè)法向量$，
則$\vec n=（0，1，0）$，$\vec m=（x，y，z）為平面ABP的一個(gè)法向量$，
$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{3}x+2y=0}\\{-3\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=$\sqrt{3}$，z=3，
則$\vec m=（1，\sqrt{3}，3）$…．（10分）
$cosθ=\frac{\vec m•\vec n}{{|{\vec m}||{\vec n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}$，
∴$tanθ=\frac{{\sqrt{30}}}{3}$…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線直線垂直的判定以及二面角的應(yīng)用，建立坐標(biāo)性，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．