Question

8．四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=$\frac{1}{2}$CD=1，M為PB的中點(diǎn)，求直線CM與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以AD、AB、AP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出直線CM與平面ABCD所成角的正弦值．

解答 解：∵四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=$\frac{1}{2}$CD=1，M為PB的中點(diǎn)，
∴以AD、AB、AP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則由題意得A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，2，0），P（0，0，1），M（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{MC}$=（1，$\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}$），平面ABCD的法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
設(shè)直線CM與平面ABCD所成角為θ
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{MC}|•|\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{|-\frac{1}{2}|}{\sqrt{\frac{14}{4}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$．
故直線CM與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$．

點(diǎn)評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．