Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （ t為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸 建立極坐標(biāo)系，圓C的方程為 ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，0），圓C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （ t為參數(shù)）．消去參數(shù)得直線普通方程，由圓C的方程為 ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，利用互化公式可得圓C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²-4t+1=0，△＞0．利用|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （ t為參數(shù)）．
消去參數(shù)得直線普通方程為$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0，
由圓C的方程為 ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，
可得圓C的直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$y．
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （ t為參數(shù)）．
把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²-4t+1=0，△＞0．
∴t₁+t₂=4，t₁t₂=1．
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．