Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln（x²+1），g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+a．
（1）求g（x）在P（$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$））處的切線(xiàn)方程l；
（2）求方程f（x）=g（x）的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)曲線(xiàn)的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線(xiàn)的斜率，根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線(xiàn)的方程即可；
（II）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），這個(gè)函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)就說(shuō)明有幾個(gè)根．然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，并求出函數(shù)的最值，討論最值的取值范圍確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求根的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）∵g′（x）=$\frac{-2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，∴g′（$\sqrt{2}$）=-2$\sqrt{2}$且g（$\sqrt{2}$）=1+a
故g（x）在點(diǎn)P（$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$）））處的切線(xiàn)方程為2$\sqrt{2}$x+y-5-a=0 
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-$\frac{1}{{x}^{2}-1}$-ah′（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$+$\frac{2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$．
x∈[0，1）∪（1，+∞）時(shí)h′（x）＞0  x∈（-∞，-1）∪（-1，0）時(shí)，h′（x）＜0，
因此h（x）（-∞，-1），（-1，0）時(shí)h（x）單調(diào)遞減，[0，1），（1，+∞）時(shí)h（x）單調(diào)遞增．h（x）為偶函數(shù)，
x∈（-1，1）時(shí)h（x）極小值h（0）=1-a
f（x）=g（x）的根的情況為：
1-a＞0時(shí)，a＜1時(shí)，原方程有2個(gè)根；
1-a=0時(shí)，a=1時(shí)，原方程有3個(gè)根；
1-a＜0時(shí)，a＞1時(shí)，原方程有4個(gè)根．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．此題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．