Question

【題目】用細(xì)鋼管焊接而成的花壇圍欄構(gòu)件如圖所示，它的外框是一個(gè)等腰梯形PQRS，內(nèi)部是一段拋物線和一根橫梁，拋物線的頂點(diǎn)與梯形上底中點(diǎn)是焊接點(diǎn)O，梯形的腰緊靠在拋物線上，兩條腰的中點(diǎn)是梯形的腰、拋物線以及橫梁的焊接點(diǎn)A，B，拋物線與梯形下底的兩個(gè)焊接點(diǎn)為C，D，已知梯形的高是40厘米，C，D兩點(diǎn)間的距離為40厘米．

（1）求橫梁AB的長(zhǎng)度；

（2）求梯形外框的用料長(zhǎng)度；

（注：細(xì)鋼管的粗細(xì)等因素忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1厘米）

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用拋物線方程求出，點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出橫梁的長(zhǎng)度；

（2）求出直線的方程，利用直線方程求出，點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出梯形外框的長(zhǎng)度.

（1）如圖所示以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線方程為，

由題知在拋物線上滿足拋物線方程，

所以點(diǎn)代入拋物線方程有，

得到拋物線方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)，都在拋物線上，且點(diǎn)，的縱坐標(biāo)都為，

所以當(dāng)時(shí)，有，

有，，

，

故橫梁的長(zhǎng)度為.

（2）由題知點(diǎn)，是梯形與拋物線的公共點(diǎn)，且梯形的腰與拋物線相切，

設(shè)直線，

因?yàn)閽佄锞�方程為，

聯(lián)立方程組為，

整理得，

，

故直線，

當(dāng)時(shí)，解得，故點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，解得，故點(diǎn)，

有，，，

因?yàn)樘菪侮P(guān)于軸對(duì)稱，

所以梯形的周長(zhǎng)為.