Question

已知四棱錐P—GBCD中(如圖)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點(diǎn)，PG=4

（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；

（2）若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn)，且，，求的值.

 

Answer 1

（1），（2）

【解析】

試題分析：法一：空間向量法。（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系。根據(jù)已知條件得點(diǎn)的坐標(biāo)，再得向量的坐標(biāo)。用向量數(shù)量積公式求向量所成角的余弦值，但應(yīng)注意空間兩異面直線所成的角為銳角或直角，所以兩異面和所成角的余弦值為向量所成角的余弦值的絕對(duì)值。（2）根據(jù)題意設(shè)，根據(jù)，可得的值，根據(jù)比例關(guān)系即可求得的值。法二：普通方法。（1）根據(jù)異面直線所成角的定義可過點(diǎn)作//交于，則（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角. 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719240228824933/SYS201411171924183045345993_DA/SYS201411171924183045345993_DA.014.png">//且//,則四邊形為平行四邊形，則，，故可在中用余弦定理求。（2）由可得，過作，為垂足。易得證平面，可得，從而易得證//，可得，即可求的值。

試題解析：解法一：

（1）如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則故

故異面直線與所成角的余弦值為.

（2）設(shè)

在平面內(nèi)過點(diǎn)作，為垂足，則

，∴

解法二：

（1）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作//交于，連結(jié)，則（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角.

在中，

由余弦定理得，

∴異面直線與所成角的余弦值為.

（2）在平面內(nèi)，過作，為垂足，連結(jié)，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719240228824933/SYS201411171924183045345993_DA/SYS201411171924183045345993_DA.027.png">

∴平面， ∴

由平面平面，∴平面 ∴//

由得，∴

，∴.

考點(diǎn)：1異面直線所成的角；2線線垂直、線面垂直、面面垂直；3空間向量法解立體幾何問題。