【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為,,點在橢圓上,滿足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線過點,且與橢圓只有一個公共點,直線與的傾斜角互補,且與橢圓交于異于點的兩點,,與直線交于點(介于,兩點之間).
(i)求證:;
(ii)是否存在直線,使得直線、、、的斜率按某種順序能構(gòu)成等比數(shù)列?若能,求出的方程;若不能,請說明理由.
【答案】(1)(2)(i)見解析(ii)
【解析】試題分析:
(1)設(shè),由題意可得,所以. 結(jié)合橢圓的定義可得. 則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)(ⅰ)設(shè)方程為,與聯(lián)立可得. 則的斜率是.
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,結(jié)合韋達定理可得 ,和中,由正弦定理得,,結(jié)合幾何關(guān)系可得成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知,, ,.假設(shè)存在直線,滿足題意.不妨設(shè),,若按某種排序構(gòu)成等比數(shù)列,則,則,此時直線與平行或重合,與題意不符,則不存在直線滿足題意.
試題解析:
(1)設(shè),
則=,所以.
因為=4,所以.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)(ⅰ)設(shè)方程為,與聯(lián)立,消得
, 由題意知,解得.
因為直線與的傾斜角互補,所以的斜率是.
設(shè)直線方程:,,聯(lián)立,整理得,由,得,,;
直線、的斜率之和
所以關(guān)于直線對稱,即,
在和中,由正弦定理得
,,
又因為,
所以
故成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知,, ,.
假設(shè)存在直線,滿足題意.不妨設(shè),,若按某種排序構(gòu)成等比數(shù)列,設(shè)公比為,則或或.
所以,則,此時直線與平行或重合,與題意不符,
故不存在直線,滿足題意.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),過點P(-2,-4)的直線l: (t為參數(shù))與曲線C相交于M,N兩點.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于實數(shù)x的一元二次方程.
Ⅰ若a是從區(qū)間中任取的一個整數(shù),b是從區(qū)間中任取的一個整數(shù),求上述方程有實根的概率.
Ⅱ若a是從區(qū)間任取的一個實數(shù),b是從區(qū)間任取的一個實數(shù),求上述方程有實根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在2015年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如表所示.
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 5 | ||
第2組 | a | ||
第3組 | 30 | b | |
第4組 | 20 | ||
第5組 | 10 | ||
合計 | 100 |
Ⅰ求出頻率分布表中a,b的值,再在答題紙上完成頻率分布直方圖;
Ⅱ根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本成績的中位數(shù);
Ⅲ高校決定在筆試成績較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進入第二輪面試,再從6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生由A考官進行面試,求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】黑板上寫有,1,2,…,666,這666個正整數(shù),第一步劃去最前面的八個數(shù):1,2,…,8,,并在666后面寫上1,2,…,8的和36;第二步再劃去最前面的八個數(shù):9,10,…,16,并在最后面寫上9,10,…,16的和100;如此繼續(xù)下去(即每一步劃去最前面的八個數(shù),并在最后寫上劃去的八個數(shù)的和).
(1)問:經(jīng)過多少步后,黑板上只剩下一個數(shù)?
(2)當(dāng)黑板上只剩下一個數(shù)時,求出在黑板上出現(xiàn)過的所有數(shù)的和(如果一個數(shù)多次出現(xiàn)需重復(fù)計算).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, ,平面底面, 為中點, 是棱上的點, .
(Ⅰ)若點是棱的中點,求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若二面角為,設(shè),試確定的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】時下,租車已經(jīng)成為新一代的流行詞,租車自駕游也慢慢流行起來,某小車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是,不超過2天按照300元計算;超過兩天的部分每天收費標(biāo)準(zhǔn)為100元(不足1天的部分按1天計算).有甲乙兩人相互獨立來該租車點租車自駕游(各租一車一次),設(shè)甲、乙不超過2天還車的概率分別為;2天以上且不超過3天還車的概率分別;兩人租車時間都不會超過4天.
(1)求甲所付租車費用大于乙所付租車費用的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值,并指出是極大值還是極小值;
(2)若,求證:在區(qū)間上,函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.
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