【題目】某高校在2015年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．

組號

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

5

第2組

a

第3組

30

b

第4組

20

第5組

10

合計(jì)

100

Ⅰ求出頻率分布表中a，b的值，再在答題紙上完成頻率分布直方圖；

Ⅱ根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本成績的中位數(shù)；

Ⅲ高校決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，再從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生由A考官進(jìn)行面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率．

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

Ⅰ由頻率分布表，能求出a，b，由此能作出頻率分布直方圖；Ⅱ求出的頻率，的頻率為，由此能求出樣本成績的中位數(shù)；Ⅲ第3、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為，，，第4組的2位同學(xué)為，，第5組的1位同學(xué)為，由此列舉法能求出第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率．

Ⅰ由頻率分布表，得：

，

．

頻率分布直方圖為：

Ⅱ的頻率為，有頻率為，

樣本成績的中位數(shù)為：．

Ⅲ第3、4、5組共有60名學(xué)生，

利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：

第3組：人，第4組：人，第5組：人，

第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．

設(shè)第3組的3位同學(xué)為，，，第4組的2位同學(xué)為，，第5組的1位同學(xué)為，

則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能如下：

，，，，，，，，，

，，，，，，

第4組至少有一位同學(xué)入選的有9種可能，

第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率為．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】輪船在海上航行時(shí)，需要借助無線電導(dǎo)航確認(rèn)自己所在的位置，以把握航向．現(xiàn)有、、三個(gè)無線電發(fā)射臺，其中在陸地上，在海上，在某國海岸線上，（該國這段海岸線可以近似地看作直線的一部分），如下圖．已知、兩點(diǎn)距離10千米，是的中點(diǎn)，海岸線與直線的夾角為．為保證安全，輪船的航路始終要滿足：接收到點(diǎn)的信號比接收到點(diǎn)的信號晚秒．（注：無線電信號每秒傳播千米）．在某時(shí)刻，測得輪船距離點(diǎn)距離為4千米．

（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求出該時(shí)刻輪船的位置；

（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，船只在距離海岸線1.5千米以內(nèi)的海域航行時(shí)，有擱淺的風(fēng)險(xiǎn)．如果輪船保持目前的航路不變，那么是否有擱淺風(fēng)險(xiǎn)?

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【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號為0的小球1個(gè)，標(biāo)號為1的小球1個(gè)，標(biāo)號為2的小球個(gè).若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率是.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為，第二次取出的小球標(biāo)號為.求在區(qū)間內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)，，求事件“恒成立”的概率.

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【題目】某物流公司引進(jìn)了一套無人智能配貨系統(tǒng)，購買系統(tǒng)的費(fèi)用為80萬元，維持系統(tǒng)正常運(yùn)行的費(fèi)用包括保養(yǎng)費(fèi)和維修費(fèi)兩部分，每年的保養(yǎng)費(fèi)用為1萬元.該系統(tǒng)的維修費(fèi)為：第一年萬元，第二年萬元，第三年2萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增.

（1）求該系統(tǒng)使用n年的總費(fèi)用（包括購買設(shè)備的費(fèi)用）；

（2）求該系統(tǒng)使用多少年報(bào)廢，使年平均費(fèi)用最少.

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln x－.

(1)試討論f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求a的值.

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【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，滿足.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線過點(diǎn)，且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與的傾斜角互補(bǔ)，且與橢圓交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，，與直線交于點(diǎn)（介于，兩點(diǎn)之間）.

（i）求證：；

（ii）是否存在直線，使得直線、、、的斜率按某種順序能構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出的方程；若不能，請說明理由.

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【題目】某學(xué)校在學(xué)校內(nèi)招募了名男志愿者和名女志愿者.將這名志愿者的身高編成如右莖葉圖(單位: ),若身高在以上(包括)定義為“高個(gè)子”,身高在以下(不包括)定義為“非高個(gè)子”,且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”.

（Ⅰ）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取人,再從這人中選人,那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少?

（Ⅱ）若從所有“高個(gè)子”中選名志愿者,用表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù),試寫出的分布列,并求的數(shù)學(xué)期望.

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【題目】(2016·全國Ⅲ卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)若S5＝，求λ.

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【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意的正整數(shù)n，都有成立，記（），

（１）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記（），設(shè)數(shù)列的前n和為，求證：對任意正整數(shù)n，都有．

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