Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-2|，g（x）=|x+1|-x．
（1）解不等式f（x）＞g（x）；
（2）若存在實數(shù)x，使不等式m-g（x）≥f（x）+x（m∈R）能成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，去掉絕對值，求出各個區(qū)間的x的范圍，取并集即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為m≥（|x-2|+|+1|）_min，根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出m的最小值即可．

解答 解：（1）由題意不等式f（x）＞g（x）可化為|x-2|+x＞|x+1|，
當x＜-1時，-（x-2）+x＞-（x+1），解得x＞-3，即-3＜x＜-1；
當-1≤x≤2時，-（x-2）+x＞x+1，解得x＜1，即-1≤x＜1；
當x＞2時，x-2+x＞x+1，解得x＞3，即x＞3，
綜上所述，不等式f（x）＞g（x）的解集為{x|-3＜x＜1或x＞3}．
（2）由不等式m-g（x）≥f（x）+x（m∈R）可得m≥|x-2|+|x+1|，
∴m≥（|x-2|+|+1|）_min，∵|x-2|+|x+1|≥|x-2-（x+1）|=3，
∴m≥3，故實數(shù)m的最小值是3．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．