(2012•韶關(guān)一模)對(duì)于△ABC,有如下四個(gè)命題:
①若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形,
②若sinB=cosA,則△ABC是直角三角形
③若sin2A+sin2B>sin2C,則△ABC是鈍角三角形
④若
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
,則△ABC是等邊三角形
其中正確的命題個(gè)數(shù)是( 。
分析:①若sin2A=sin2B,則 2A=2B,或 2A+2B=π,即A=B或C=
π
2
,可知①不正確.
②若sinA=cosB,找出∠A和∠B的反例,即可判斷則△ABC是直角三角形的正誤.
③由sin2A+sin2B>sin2C,結(jié)合正弦定理可得a2+b2>c2,再由余弦定理可得cosC>0,所以C為銳角.
④利用正弦定理,化簡(jiǎn)
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
,可得sin
A
2
=sin
B
2
=sin
C
2
,從而可得
A
2
=
B
2
=
C
2
解答:解:①若sin2A=sin2B,則 2A=2B,或 2A+2B=π,即A=B 或C=
π
2
,故△ABC為等腰三角形或直角三角形,故①不正確.
②若sinA=cosB,例如∠A=100°和∠B=10°,滿足sinA=cosB,則△ABC不是直角三角形,故②不正確.
③由sin2A+sin2B>sin2C,結(jié)合正弦定理可得a2+b2>c2,再由余弦定理可得cosC>0,∴C為銳角,故③不正確.
④∵
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
,∴sin
A
2
=sin
B
2
=sin
C
2
,由于半角都是銳角,∴
A
2
=
B
2
=
C
2
,∴△ABC是等邊三角形,故④正確
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題是基礎(chǔ)題,考查三角形的判斷,三角方程的求法,反例法的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,邏輯推理能力.
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