Question

6．已知直線l：y=x+n與橢圓G：（3-m）x²+my²=m（3-m）交于兩點B，C．
（Ⅰ）若橢圓G的焦點在y軸上，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若A（0，1）在橢圓上，且以BC為直徑的圓過點A，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化橢圓方程為標準方程，由題意可得$\left\{{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3-m＞0}\\{m＜3-m}\end{array}}\right.$，求解不等式組得到m值；
（Ⅱ）把A代入橢圓方程，求出m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得m的范圍，利用根與系數(shù)的關系得到B，C兩點橫坐標的和與積，結(jié)合$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0列式求得n值，驗證后可得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓G：（3-m）x²+my²=m（3-m），可得$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3-m}=1$，
由橢圓的焦點在y軸上，可得$\left\{{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3-m＞0}\\{m＜3-m}\end{array}}\right.$，
解得：$0＜m＜\frac{3}{2}$，
∴m的取值范圍是$0＜m＜\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）∵A（0，1）在橢圓G：（3-m）x²+my²=m（3-m）上，
∴m=m（3-m），
解得m=2或m=0（舍），
∴橢圓G：x²+2y²=2．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+n}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，消y并化簡整理得3x²+4nx+2n²-2=0，
△=16n²-12（2n²-2）＞0，即-$\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$．
${x_1}+{x_2}=\frac{-4n}{3}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{n^2}-2}}{3}$，
∵以BC為直徑的圓過點A，
∴AB⊥AC，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+x₁（y₂-1）+（y₁-1）x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=$4{x}_{1}{x}_{2}+（2n-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（n-1）^{2}$=$\frac{4（2{n}^{2}-2）}{3}-\frac{4n（2n-2）}{3}+（n-1）^{2}$
=$\frac{3{n}^{2}+2n-5}{3}=0$，
解得：n=$-\frac{5}{3}$或n=1．
滿足-$\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$．
∴直線l的方程為y=x$-\frac{5}{3}$或y=x+1．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．