Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在x=2處取得極值，求滿足條件的a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞ -

1

2

時(shí)，f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）在(

1

e

，e)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，列出方程求出a的值．
（Ⅱ）對a分類討論令導(dǎo)函數(shù)小于0求出遞減區(qū)間，得到（1，2）的端點(diǎn)的范圍，列出不等式求出a的范圍．
（Ⅲ）令導(dǎo)函數(shù)為0求出函數(shù)的單調(diào)性與最小值；結(jié)合函數(shù)的草圖，只要最小值小于0，兩個(gè)端點(diǎn)的值大于0即可，列出不等式組，求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2ax+1-2a-

1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

有已知得f′(2)=0即

(4a+1)(2-1)

2

=0
∴a=-

1

4

經(jīng)檢驗(yàn)a=-

1

4

符合題意
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=2ax+1-2a-

1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

當(dāng)a≥0時(shí)，由1＜x＜2知f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）遞增，不符合題意
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，
令t=2ax+1，
則有t=2ax+1≤0在（1，2）恒成立，
有4a+1≤0，即a≤-

1

4

，
綜合可得a的取值范圍是（-

1

2

，-

1

4

]；
（Ⅲ）令f′（x）=0
∵a＞0解得x=1或x=-

1

2a

(舍)
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
要使y=f（x）在（

1

e

，e）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，只需

f( 1 e )＞0 f(x)min＜0 f(e)＞0

即

a( 1 e )2+(1-2a) 1 e -ln 1 e ＞0 a+1-2a-ln1＜0 ae2+(1-2a)e-lne＞0

∴

a＜ e+e2 2e-1 a＞1 a＞ 1-e e2-2e

∵

e+e2

2e-1

-1=

e(e-1)+1

2e-1

＞0∴

e+e2

2e-1

＞1
∵

1-e

e2-2e

＜0
∴1＜a＜

e+e2

2e-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，并能解決函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．