已知向量
OA
=(λcosα,λsinα)
(λ≠0),
OB
=(-sinβ,cosβ)
,其中O為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)若β=α-
π
3
,求向量
OA
OB
的夾角;
(Ⅱ)若|
AB
|≥2|
OB
|
對任意實數(shù)α、β都成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
分析:(Ⅰ)首先利用向量模的坐標(biāo)公式求出向量
OA
、
OB
的長度,從而得到
OA
OB
=|λ|cosθ
,然后利用向量數(shù)理積的坐標(biāo)公式,得到
OA
OB
=λsin(β-α)=-
3
2
λ,最后解關(guān)于夾角θ的方程,可得向量
OA
OB
的夾角;
(Ⅱ)代入(1)的運算結(jié)果,將不等式|
AB
|≥2|
OB
|
整理為:λ2-2λsin(β-α)-1≥0對任意實數(shù)α、β都成立,再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性,建立關(guān)于λ的不等式組,解之可得滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵
OA
=(λcosα,λsinα)
,
OB
=(-sinβ,cosβ)

|
OA
|=
(λcosα) 2+(λsinα) 2
=|λ|
|
OB
|=
(-sinβ) 2+(cosβ) 2
=1

設(shè)向量
OA
OB
的夾角為θ,得
OA
OB
=|
OA
||
OB
|  cosθ=|λ|cosθ

又∵
OA
OB
=λcosα(-sinβ)+(λsinα)cosβ

=λsin(α-β)=
3
2
λ
∴|λ|cosθ=
3
2
λ⇒cosθ=±
3
2

∵θ∈[0,π]
∴θ=
π
6
6

(Ⅱ)|
AB
| 2=(
OB
-
OA
) 2= | 
OA
| 2-2
OA
OB
+|
OB
| 2

代入(1)的運算結(jié)果|
OA
| =|λ|,|
OB
|=1
,
OA
OB
=λsin(α-β),
|
AB
| 2 2-2λsin(α-β)+1

不等式|
AB
|≥2|
OB
|
化為:λ2-2λsin(α-β)+1≥4,
即λ2-2λsin(α-β)-3≥0對任意實數(shù)α、β都成立
∵-1≤sin(α-β)≤1
λ 2-2λ-3≥0
λ 2+2λ-3≥0
⇒λ≤-3或λ≥3
∴實數(shù)λ的取值范圍是(-∞,-3]∪[3,+∞)
點評:本題綜合了平面向量的數(shù)量積、和與差的三角函數(shù)以及不等式恒成立等知識點,屬于難題.解題時應(yīng)該注意等價轉(zhuǎn)化和函數(shù)方程思想的運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
OA
=(1,-2),
OB
=(-3,4),則
1
2
AB
等于( 。
A、(-2,3)
B、(2,-3)
C、(2,3)
D、(-2,-3)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
OA
=(3,-4)
,
OB
=(6,-3)
,
OC
=(5-m,-3-m).
(1)若△ABC為直角三角形,且∠A為直角,求實數(shù)m的值;
(2)若點A,B,C能構(gòu)成三角形,求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記O為坐標(biāo)原點,已知向量
OA
=(3,2)
,
OB
=(0,-2)
,又有點C,滿足|
AC
|=
5
2
,則∠ABC的取值范圍為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
OA
=(3,1),
OB
=(2,-1),
OC
OA
,
AC
OB
,則向量
OC
=(  )
A、(1,-3)
B、(-1,3)
C、(6,-2)
D、(-6,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知向量
OA
=(k,12),
OB
=(4,5),
OC
=(-k,10),且A、B、C三點共線,求實數(shù)k的值;
(2)已知向量
a
=(1,1),
b
=(2,-3),若k
a
-2
b
a
垂直,求實數(shù)k的值.

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