Question

9．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜4，|φ|＜$\frac{π}{2}$）過點（0，$\frac{1}{2}$），且當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最大值1．
（1）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x），求函數(shù)g（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）+2cos²x-1，求函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）由函數(shù)的最值求出A，由特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，由周期求出ω，可得f（x）的解析式，再根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式．
（II）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的增區(qū)間，得出結(jié)論．

解答 （I）由題意可得A=1，把點（0，$\frac{1}{2}$）代入函數(shù)的解析式可得sinφ=$\frac{1}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$，
當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）=sin（ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合0＜ω＜4，可得ω=2，
∴函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$） 的圖象．
（II）函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）+2cos²x-1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查利用由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，由周期求出ω，三角恒等變換，正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于中檔題．