20．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-3，4）．
（1）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的正弦值；
（2）若$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$），求實(shí)數(shù)λ的值．

分析 （1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的公式，求得向量夾角的余弦值，由同角的平方關(guān)系，可得夾角正弦值；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-3，4），
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1×（-3）+2×4=5，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{9+16}$=5，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{5}{5\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$），則$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$）=0，
即有$\overrightarrow{a}$2+λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即5+5λ=0，
解得λ=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的夾角的正弦值，同時(shí)考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．已知cosα=-$\frac{3}{5}$，-π＜α＜0，則tanα等于（　　）
A．$\frac{4}{3}$B．-$\frac{4}{3}$C．$\frac{3}{4}$D．-$\frac{3}{4}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．與-527°角終邊相同的角的集合是（　�。�
A．{α|α=k?360°+527°，k∈Z}B．{ α|α=k?360°+157°，k∈Z }
C．{α|α=k?360°+193°，k∈Z }D．{ α|α=k?360°-193°，k∈Z }

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}，（x＞2）\\ f（x+1），（x≤2）\end{array}$，則f（1）=8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，|AD|=2|BD|，若$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow b$，則$\overrightarrow{CD}$=（　　）
A．$\frac{2}{3}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow b$B．$\frac{1}{3}$$\overrightarrow a$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow b$C．$\frac{3}{5}$$\overrightarrow a$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow b$D．$\frac{4}{5}$$\overrightarrow a$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow b$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．若a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c，則角A的大小為（　　）
A．$\frac{π}{6}$B．$\frac{π}{3}$C．$\frac{5π}{6}$D．$\frac{2π}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=3，計(jì)算：
（1）tanα；  
（2）tan2α；       
（3）$\frac{2sinαcosα+3cos2α}{5cos2α-3sin2α}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜4，|φ|＜$\frac{π}{2}$）過點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$），且當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值1．
（1）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x），求函數(shù)g（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x-1，求函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．直線4x+3y-12c=0被兩坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)為1，則c=±$\frac{1}{5}$．

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同步練習(xí)冊(cè)答案